Recorde as incidências da partida
No entanto, o Manchester United teve de aguentar uma tempestade inicial do Southampton e o resultado poderia ter sido muito diferente se André Onana não tivesse defendido o penálti de Cameron Archer com 0-0 no marcador.
O primeiro golo deDe Ligt no Manchester United e o primeiro de Rashford em seis meses rapidamente mudaram o rumo da partida a favor dos visitantes, ainda antes do intervalo.
Os problemas do Southampton foram agravados quando o capitão Jack Stephens foi expulso a 11 minutos do fim por falta dura sobre Garnacho, que fechou o marcador nos descontos.
"Às vezes é preciso encontrar uma maneira de ganhar", disse Ten Hag.
"Nos primeiros minutos tivemos alguns problemas, mas depois que o André parou o penálti e com o golo de De Ligt, acho que o jogo era todo nosso", acrescentou o treinador.
O Southampton, que contou com Mateus Fernandes no onze inicial, continua sem pontuar em quatro jogos no seu regresso à Premier League, enquanto a segunda vitória do United na temporada eleva a equipa ao oitavo lugar.
Ten Hag começou a campanha já sob escrutínio, depois de ter sobrevivido a uma revisão interna do seu cargo em maio, na sequência de um oitavo lugar na Premier League na época passada.
As derrotas consecutivas antes da pausa internacional, com Brighton e Liverpool, aumentaram ainda mais a pressão sobre o neerlandês, e os Red Devils tiveram de contar com a sorte no início da partida deste sábado.
A falta de aproveitamento de algumas jogadas promissoras tem sido a história do regresso do Southampton à Premier League.
O jovem Tyler Dibling chamou a atenção na sua primeira partida na Premier League e a sua habilidade atraiu Diogo Dalot para uma falta dentro da área.
Mas o pontapé de Archer não teve convicção e Onana defendeu a sua tentativa antes de agarrar facilmente o cabeceamento do avançado na recarga.
"Muito importante para ele"
Apenas dois minutos mais tarde, o United liderava, com De Ligt a ultrapassar uma semana difícil com a seleção neerlandesa e a abrir o ativo.
O antigo defesa-central do Bayern de Munique foi substituído ao intervalo por Ronald Koeman, depois de erros que levaram a dois golos alemães no empate 2-2 da Liga das Nações, em Amesterdão.
Um canto curto apanhou o Southampton desprevenido e o cruzamento de Bruno Fernandes escolheu na perfeição De Ligt para cabecear para o fundo da baliza.
"Três pontos nos jogos não são suficientes, por isso havia alguma pressão sobre este jogo, mas jogámos muito bem", afirmou De Ligt.
"Grande mérito para o André, que defendeu um penálti muito importante e mudou o jogo", acrescentou.
Rashford pôs fim à espera desde março para marcar quando o seu remate rasteiro de fora da área entrou no ângulo aos 41 minutos.
"É muito importante para ele", acrescentou Ten Hag.
"Para todos os atacantes, é importante estar na lista de marcadores. Agora que ele marcou o seu primeiro, tenho certeza de que haverá mais", acredita.
Aaron Ramsdale negou o segundo golo a De Ligt antes do intervalo, quando o United ameaçava revoltar-se.
Mas o segundo tempo foi bem mais tranquilo, com os visitantes a segurar confortavelmente o Southampton antes que a frustração da equipa da casa transbordasse.
Stephens fez uma entrada desnecessária ao joelho de Garnacho, que foi justamente punido com o cartão vermelho direto.
O argentino, por sua vez, esfregou sal na ferida do Southampton com um golaço após cruzamento de Dalot, aos 90+6 minutos.